مقایسه معادلات شیوه های Explicit و Implicit در روش اجزای محدود

در پست قبلی بارگذاری دینامیکی بر روی یک خرپای ساده را بررسی کردیم. در این مبحث با جزئیات بیشتر به مقایسه دو روش معمول و متداول در حل مسائل به روش اجزای محدود می پردازیم. در حل مسائل دینامیکی دو روش در نرم افزارها مورد استفاده قرار می گیرد: روش صریح یا Explicit و روش ضمنی یا Implicit. مقایسه شیوه های Explicit و Implicit در روش اجزای محدود در این پست انجام شده است. 

قبل از پرداختن به مسائل دینامیک بهتر است تا اشاره مختصری جهت یادآوری به کلیت روش اجزای محدود داشته باشیم. هدف از این اشاره پرداختن به جزئیات و روشهای ریاضی حل معادلات نیست و لذا کاملاً به صورت پارامتری و شماتیک به آن می پردازیم.

یکی از ساده ترین اجزای سازه های مکانیک مدل فنر است. همانطور که می دانیم معادله نیروی استاتیکی یک فنر ساده به صورت F=k*x بیان می شود که در آن F نیروی خارجی وارده بر انتهای فنر، k ضریب سختی فنر است که خود تابعی از قطر و طول و جنس و تعداد حلقه های فنر می باشد و x میزان جابجایی فنر نسبت به وضعیت آزاد اولیه فنر است.

ترکیب چند فنر به صورت موازی و یا سری با یکدیگر تشکیل فنر معادل دیگری با ضریب سختی دیگری را می دهد که به طور مثال ترکیب دو فنر به ضریب سختی های k1 و k2 به شکل موازی تشکیل فنر جدیدی با ضریب سختی k3=k1+k2 می دهد و …

در نرم افزار Abaqus از روشی موسوم به روش اجزای محدود که در منابع و متون مختلف از آن با نامهایی مثل روش المان محدود، FEM، FEA، Finite Element Method و یا Finite Element Analysis یاد می شود جهت محاسبات بهره می برد. در این روش ابتدا مدل به قسمت های کوچکی به نام المان تقسیم می شود و سپس به شیوه ای مشابه معادله فنر، برای محاسبه میزان تغییر شکل و جابجایی مجموعه این المانها از رابطه ای ماتریسی استفاده می شود:

[F]=[k].[x]

که در آن [F]، ماتریس نیرو، با توجه به بارگذاریها و شرایط مرزی محاسبه می شود و معلوم است. [k]، ماتریس سختی، با توجه به هندسه سازه، ضخامت ورقها و جنس (Material) محاسبه می شود و معلوم است و [x]، ماتریس جابجایی، مجهول است و باید محاسبه گردد. جهت فهم بیشتر مطالب قبلی در اینجا متذکر می شوم که به این مرحله از کار اصطلاحاً پیش پردازش یا Pre-Processing گفته می شود.

شیوه محاسبه و حل این معادله به طور کاملاً خلاصه اینگونه است:

[F]=[k].[x] → [k-1].[F]=[k-1].[k].[x] → [k-1][F]=[x]

ماتریس جابجایی، [x]، محاسبه می شود. به این مرحله از کار که ما بسیار ساده و خلاصه مطرح کردیم پردازش یا Processing گفته می شود و قلب یک نرم افزار و نقطه قوت و تمایز میان نرم افزارهاست.

با بدست آمدن ماتریس جابجایی [x]، در واقع مقدار جابجایی (Displacement) تمامی گره ها بدست آمده است. از روی میزان جابجایی ها و با جایگذاری در رابطه ε=(L-L0)/L0 کرنش هر المان محاسبه شده و با جایگذاری در رابطه بنیادی σ=E.ε تنش ها محاسبه می گردد و سایر نتایج نیز با استفاده از روابط مکانیکی محاسبه می گردد. به این مجموعه عملیات اصطلاحاً پس پردازش یا Post-Processing اطلاق می شود.

برگردیم سر بحث اصلی Explicit و Implicit.

آنچه در مورد چگونگی روش اجزای محدود گفته شد مربوط بود به مسائل استاتیک که در آنها زمان بی نهایت است. تغییرات نسبت به زمان آنقدر کند است که در معادلات زمان حذف شده است. هنگامی که زمان در معادله حرکت فنر وارد می شود آن را بدین صورت تغییر داده و تکمیل می کند.

عینا مشابه همین معادله فقط به صورت ماتریسی در روش اجزای محدود ایجاد می شود. جهت ساده تر و خواناتر شدن معادلات از تکرار علامت کروشه برای ماتریسها صرف نظر می کنیم. تفاوت میان دو روش Explicit و Implicit در روش ریاضی حل این معادله است. ابتدا به رویکرد Explicit می پردازیم:

فرضیات: مقادیر xn (موقعیت nodeها در لحظه n) از محاسبات قبلی بدست آمده و معلوم است.

مطلوب: بدست آوردن xn+1 ( موقعیت nodeها در لحظه n+1)

آنگاه:

که از این معادله بدست می آید.

در این معادله معلوم است و بنابراین محاسبه می شود.

xn+1 محاسبه شد. در روش Explicit مقدار [x] در هر لحظه با توجه به مقادیر سرعت و شتاب در لحظه قبل محاسبه می شود و لذا برای پایدار بودن باید شرایطی برقرار باشد که در مبحثی دیگر به آن خواهیم پرداخت.

اما به رویکرد Implicit بپردازیم:

فرضیات: مقادیر موقعیت، سرعت و شتابها در لحظه n معلوم است.

مطلوب: محاسبه موقعیت ها در لحظه n+1

طبق تعریف شتاب در لحظه n+1 داریم:

و طبق تعریف سرعت در لحظه n+1 داریم:

با جایگذاری در رابطه اول برای محاسبه xn+1 خواهیم داشت:

xn+1 با توجه به مقادیر xn و xn-1 بدست می آید.

در این مبحث به تفاوت ریاضی دو روش Explicit و Implicit پرداختیم. در مطلب بعد به سایر تفاوتها و مزایا و معایب هر کدام خواهیم پرداخت.

11 comments

  • سلام و با تشکر از پاسخ قبلی من دارم کمانش لوله ای رو بررسی می کنم که به علت برخورد لنگر قر شده است(مثل مثال برخورد شما-سنبه گذاشته ام و برخورد را مدل کرده ام و لوله دجار قر شدگی موضعی شده و به حالت پلاستیک رسیده است-dynamic expilicit حالا میخوام این لوله رو کمانشش رو بررسی کنم-که در آباکوس استاندارد باید باشد از خاصیت predefined استفاده کردم و مشکلی در این مدل سازی نبود/ منتها در آنالیز کمانش-buckle- این قر شدگی لحاظ نمیشود و یا... منتها نیروی کمانشی به علت اثر تنش های انتقالی از برخورد بیشتر هم می شود/تا 20 درصد
  • سلام نحوه انتقال از آباکوس اکسپیلیسیت به استاندارد چکونه است؟ سایت های خارجی این قابلیت را با استفاده از خاصیت predefined توضیح داده اند ولی واضح نیست/شما میشه توضیح بدین ممنون
  • سلام نحوه انتقال از آباکوس اکسپیلیسیت به استاندارد چکونه است؟ ساین هایی این قابلیت را با استفاده از خاصیت predefined توضیح داده اند ولی واضح نیست/شما میشه توض
    • در predefined field نام job را به عنوان ورودی در قسمت initial state وارد کنید. دقت کنید که خروجی فایل explicit و فایل استاندارد باید در یک آدرس قرار داشته باشند.
      • با سلام و خسته نباشید جناب مهندس وقتی با استفاده از initial state خروجی را وراد کنیم، در ماژول مش نمیتوان aasign element type را دوباره انجام داد. یعنی حل ابتدا که استاتیکی بوده با المانهای استاندارد حل شده، برای ادامه حل با استفاده از اکسپلییت نمیتوان در ماژول مش نوع حل را اکسپلیسیت کرد. این مشکل را چگونه حل کنیم؟
  • <p style="text-align: right">سلام <p style="text-align: right">می خواستم یه سری مطلب به انگلیسی یا فارسی در مورد <p style="text-align: right">بررسی روش اجزای محدود در مسائل دینامیکی گذرا <p style="text-align: right">بهم معرفی کنید. بیشتر در مورد نوع المان ها و روش های حل <p style="text-align: right">با تشکر <p style="text-align: right">
    • سلام بدون شک بهترین مرجع انگلیسی مستندات خود نرم افزار آباکوس است. اگر به حساب تعریف از خود نگذارید شاید بهترین مرجع فارسی همین سایت باشد. سعی کنید کار با مستندات آباکوس را تمرین کنید تا قلق استفاده از آن را فرا بگیرید.
  • سلام من در مورد بارگذاری دینامیکی روی آسفالت یه سوال فوری داشتم . می تونین کمکم کنین .از مطالب خوبتون ممنونم
  • با سلام واقعا" مطالب جالبي بود با تحليل هاي فيزيكي به حل مسايل پرداخته بودين من در مورد خرپاهاي k شكل و اينكه چرا در ساختمانهاي بيش از 2طبقه نميتوان از اين نوع خرپاها استفاده كردمطلب ميخواستم اگر مرا كمك كنيد ممنون ميشوم با تشكر